Question

【題目】如圖所示，已知橢圓： 的長軸為，過點(diǎn)的直線與軸垂直，橢圓上一點(diǎn)與橢圓的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的最大面積為2，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 設(shè)是橢圓上異于， 的任意一點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)， 點(diǎn)為的中點(diǎn)，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線與橢圓相切于點(diǎn)，證明見解析

【解析】試題分析： 根據(jù)條件和離心率公式可以求得， ，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； 設(shè)，由的坐標(biāo)求得直線的方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，又因?yàn)?/span>

為中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，得到直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用判別式求得結(jié)論

解析：（1）依題設(shè)條件可得： ， .又，解得， ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）直線與橢圓相切于點(diǎn).證明如下：

設(shè)點(diǎn)，又，所以直線的方程為.令，得，即點(diǎn).又點(diǎn)， 為中點(diǎn)，所以.

于是直線的方程為 ，即 .

因?yàn)?/span>，所以，所以 ，整理得到，由消去并整理得到： ，即，此方程的判別式，所以直線與橢圓相切于點(diǎn).