Question

函數(shù)f（x）=log_a（x-3），當(dāng)點(diǎn)P（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)時(shí)，Q（x-2，-y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)．?
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范圍．?

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)方法求出y=g（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．可以選擇相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程的思想求出
y=g（x）的解析式；注意函數(shù)的定義域．
（2）將已知不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解本題的關(guān)鍵；注意在函數(shù)的定義域中求解該不等式，注意對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用．

解答：解：（1）設(shè)Q（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的點(diǎn)，則P（x+2，-y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足y=f（x）的解析式，即有-y=log_a（x+2-3），從而y=-log_a（x-1），這就是函數(shù)y=g（x）的解析式．
（2）若f（x）＞g（x），則有l(wèi)og_a（x-3）＞-log_a（x-1）?log_a（x-3）+log_a（x-1）＞0．
①當(dāng)a＞1時(shí)，上不等式等價(jià)于

x-3＞0 x-1＞0 (x-3)(x-1)＞1

，解得x的取值范圍是（2+

2

，+∞）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，上不等式等價(jià)于

x-3＞0 x-1＞0 0＜(x-3)(x-1)＜1

，解得x的取值范圍是（3，2+

2

）．
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，x的取值范圍是（2+

2

，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍是（3，2+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)圖象之間的關(guān)系問(wèn)題，考查函數(shù)解析式的求法，考查對(duì)數(shù)型不等式的求解，考查函數(shù)的定義域意識(shí)，考查學(xué)生的分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于常規(guī)題型．