Question

考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．
已知函數(shù)，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=1處取極值，所以f'（1）=0求出a即可；
（2）求出f′（x），再進(jìn)行分類討論：當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，可確定f（x）的單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間從而可知，f（x）在處取得最小值，不合，故可求a的取值范圍．
解答：解：（1）．
因f（x）在x=1處取得極值，故f'（1）=0，解得a=1 （經(jīng)檢驗(yàn)）．…（4分）
（2），因x≥0，a＞0，故ax+1＞0，1+x＞0．
當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）≥0，f（x）遞增，f（x）的最小值為f（0）=1．
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由f'（x）＞0，解得；由f'（x）＜0，解得．
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
于是，f（x）在處取得最小值，不合．
綜上可知，若f（x）得最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．…（10分）
注：不檢驗(yàn)不扣分．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，注意分類討論思想的運(yùn)用