Question

7．國內(nèi)某大學(xué)有男生6000人，女生4000人，該校想了解本校學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，根據(jù)性別采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取100人，調(diào)查他們平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)表明該校學(xué)生平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間范圍是[0，3]，若規(guī)定平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不少于2小時(shí)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，低于2小時(shí)的學(xué)生為“非運(yùn)動(dòng)達(dá)人”．根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)按性別與“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2×2列聯(lián)表：

運(yùn)動(dòng)時(shí)間 性別	運(yùn)動(dòng)達(dá)人	非運(yùn)動(dòng)達(dá)人	合計(jì)
男生	36
女生		26
合計(jì)			100

（1）請根據(jù)題目信息，將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并通過計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.025的前提下認(rèn)為性別與“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’”有關(guān)；
（2）為了進(jìn)一步了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)情況及體能，對樣本中的甲、乙兩位運(yùn)動(dòng)達(dá)人男生1500米的跑步成績進(jìn)行測試，對多次測試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到甲1500米跑步成績的時(shí)間范圍是[4，5]（單位：分鐘），乙1500米跑步成績的時(shí)間范圍是[4.5，5.5]（單位：分鐘），現(xiàn)同時(shí)對甲、乙兩人進(jìn)行1500米跑步測試，求乙比甲跑得快的概率．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，該校根據(jù)性別采取分層柚樣的100人中，有60人為男生，40人為女生，據(jù)此將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，計(jì)算K²，與臨界值比較即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)甲、乙1500米跑步測試的時(shí)間分別為x，y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{4≤x≤5}\\{4.5≤y≤5.5}\end{array}\right.$，設(shè)事件A為“乙比甲跑得快”，則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，以面積為測度，即可求出概率．

解答 解：（Ⅰ）由題意，該校根據(jù)性別采取分層柚樣的100人中，有60人為男生，40人為女生，據(jù)此將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整如下表所示．

運(yùn)動(dòng)時(shí)間 性別	運(yùn)動(dòng)達(dá)人	非運(yùn)動(dòng)達(dá)人	合計(jì)
男生	36	24	60
女生	14	26	40
合計(jì)	50	50	100

…（2分）
由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測值$k=\frac{{100×{{（36×26-24×14）}^2}}}{50×50×60×40}=6＞5.024$，…（4分）
所以在犯錯(cuò)誤概率不超過0.025的前提下，可以認(rèn)為性別與“是否為‘運(yùn)動(dòng)達(dá)人’”有關(guān)．
…（6分）
（Ⅱ）設(shè)甲、乙1500米跑步測試的時(shí)間分別為x，y分鐘，
則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{4≤x≤5}\\{4.5≤y≤5.5}\end{array}\right.$，
設(shè)事件A為“乙比甲跑得快”，則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y，如圖陰影所示，

由幾何關(guān)系的概率公式可得P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×1}$=$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，考查幾何概型，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．