Question

已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，-cosx），設函數f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f（A）=0，b+c=7，△ABC的面積為2

3

，求邊a的長．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,余弦定理

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）首先通過三角函數的恒等變換，把函數關系式變形成正弦型函數，進一步求出函數的周期和單調區(qū)間．
（Ⅱ）利用上步求得的函數關系式，利用定義域和三角形的面積求出角A的大小，進一步利用余弦定理求出邊a的值．

解答： 解：（Ⅰ）已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，-cosx），
設函數f（x）=

m

•

n

=sin2x-

3

sinxcosx
=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x
=

1

2

-sin(2x+

π

6

)
所以函數的最小正周期為：T=

2π

2

=π，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ
所以函數的單調遞減區(qū)間為：[kπ-

π

3

，

π

6

+kπ]（k∈Z）
（Ⅱ）由f（x）=

1

2

-sin(2x+

π

6

)
又因為：f（A）=0，0＜A＜π
所以：

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

所以：2A+

π

6

=

5π

6

解得：A=

π

3

又△ABC的面積為2

3

所以：

1

2

bcsinA=2

3

解得：bc=8
b+c=7
利用余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA
解得：a=5

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變形，正弦型函數的周期和單調區(qū)間的確定，利用三角形的角的范圍求出角的大小，余弦定理的應用，屬于基礎題型．