Question

已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求y=f（x²-2）的值域．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：因為是二次函數(shù)可設f（x）=ax²+bx+c，然后利用f（0）=0可求得c=0，再結(jié)合f（x+1）=f（x）+x+1恒等列出a，b，c的方程組求解；求y=f（x²-2）的值域，只需利用換元法，令t=x²-2≥-2，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（t）=at²+bt+c在[-2，+∞）上的值域．

解答： 解：設函數(shù)f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=0，所以c=0，
即f（x）=ax²+bx，
f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+2ax+a+bx+b=f（x）+x+1=ax²+bx+x+1，
消去相同項得2ax+a+b=x+1
即2a=1，a+b=1，
解得a=b=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

x2+

1

2

x=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

，該函數(shù)在（-∞，-

1

2

）上遞減，在[-

1

2

，+∞）上遞增，
對于函數(shù)求y=f（x²-2），令t=x²-2≥-2，所以要求函數(shù)y=f（x²-2）值域，即求函數(shù)y=f（t）在[-2，+∞）上的值域，
所以f（t）≥f（-

1

2

）=-

1

8

，
所以函數(shù)y=f（x²-2）的值域為[-

1

8

，+∞）．

點評：本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，一般是由已知條件列出待定系數(shù)的方程組求解，在求此例中，要注意恒等式知識的應用，求值域的方法用的是換元法，實際上用了轉(zhuǎn)化思想求解．