Question

17．如圖，銳角△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AM}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow$|=3，sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，求中線AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的加法以及中點(diǎn)的定義求出$\overrightarrow{AM}$即可；
（Ⅱ）求出∠BAC的余弦值，從而求出AM的長(zhǎng)即可．

解答 解：（Ⅰ）∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（Ⅱ）∵sin∠BAC=$\frac{4}{5}$，△ABC是銳角三角形，
∴cos∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴${|\overrightarrow{AM}|}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$）=$\frac{1}{4}$（25+2×5×3×$\frac{3}{5}$+9）=13，
∴|$\overrightarrow{AM}$|=$\sqrt{13}$，即中線AM=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量基本定理，模的幾何意義，簡(jiǎn)單題．