【題目】已知函數(shù)f(x)= x2+lnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)x>1時(shí), x2+lnx< x3 .
【答案】
(1)解:依題意知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},
∵f′(x)=x+ ,∴f′(x)>0,
∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)
(2)證明:設(shè)g(x)= x3﹣ x2﹣lnx,
∴g′(x)=2x2﹣x﹣ ,
∵當(dāng)x>1時(shí),g′(x)= >0,
∴g(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),
∴g(x)>g(1)= >0,
∴當(dāng)x>1時(shí), x2+lnx< x3
【解析】(1)確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)函數(shù),可得導(dǎo)數(shù)的正負(fù),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)= x3﹣ x2﹣lnx,確定g(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),即可證得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N* .
(1)若2a2 , a3 , a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn= ,且b2= ,證明:b1+b2++bn> .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) , 是其函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸. (Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若f(x)的定義域?yàn)? ,值域?yàn)閇﹣1,5],求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四個(gè)數(shù),前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,和為19,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,和為12,求此四個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為 .
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,已知四邊形是由直角△和直角梯形拼接而成的,其中
.且點(diǎn)為線段的中點(diǎn), , 現(xiàn)將△沿進(jìn)行翻折,使得二面角
的大小為,得到圖形如圖(2)所示,連接,點(diǎn)分別在線段上.
(1)證明: ;
(2)若三棱錐的體積為四棱錐體積的,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某基建公司年初以100萬元購進(jìn)一輛挖掘機(jī),以每年22萬元的價(jià)格出租給工程隊(duì).基建公司負(fù)責(zé)挖掘機(jī)的維護(hù),第一年維護(hù)費(fèi)為2萬元,隨著機(jī)器磨損,以后每年的維護(hù)費(fèi)比上一年多2萬元,同時(shí)該機(jī)器第x(x∈N* , x≤16)年末可以以(80﹣5x)萬元的價(jià)格出售.
(1)寫出基建公司到第x年末所得總利潤y(萬元)關(guān)于x(年)的函數(shù)解析式,并求其最大值;
(2)為使經(jīng)濟(jì)效益最大化,即年平均利潤最大,基建公司應(yīng)在第幾年末出售挖掘機(jī)?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次歌手大獎(jiǎng)賽上,七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為( )
A.9.4,0.484
B.9.4,0.016
C.9.5,0.04
D.9.5,0.016
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上三個(gè)向量 的模均為1,它們相互之間的夾角均為120°.
(1)求證: ;
(2)若|k |>1 (k∈R),求k的取值范圍.
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