Question

已知橢圓C₁：

x2

4

+y2=1，橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，過O的直線l與C₁相交于A，B兩點，且l與C₂相交于C，D兩點．若|CD|=2|AB|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，橢圓C₁：

x2

4

+y2=1的長半軸長為2，離心率為

3

2

，由橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，知橢圓C₂的對稱中心在原點，焦點在y軸上，由此能求出橢圓C₂的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx，或x=0（舍），設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），根據(jù)橢圓的對稱性，得A（-x₁，-y₁），C（-x₂，-y₂），則

AB

=（2x₁，2y₁），

CD

=（2x₂，2y₂），由|CD|=2|AB|，知x₂=2x₁，（4k²+1）x²-4，解得x12=

4

4k2+1

，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）由題意，橢圓C₁：

x2

4

+y2=1的長半軸長為2，離心率為

3

2

，
∵橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，
∴橢圓C₂的對稱中心在原點，焦點在y軸上，
設(shè)橢圓C₂：

y2

a2

+

x2

4

=1，a＞2，
∴

a2-4

a

=

3

2

，解得a=4，
∴橢圓C₂的方程為

y2

16

+

x2

4

=1．
（2）如圖，設(shè)直線l的方程為y=kx，或x=0（舍），
設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
根據(jù)橢圓的對稱性，得A（-x₁，-y₁），C（-x₂，-y₂），
則

AB

=（2x₁，2y₁），

CD

=（2x₂，2y₂），
∵|CD|=2|AB|，∴

CD

=2

AB

，∴x₂=2x₁，
由方程組

y=kx x2 4 +y2=1

，消去y，得（4k²+1）x²-4，解得x12=

4

4k2+1

，
同理，根據(jù)直線l與橢圓C₂的方程得x22=

16

4+k2

，
由x₂=2x₁，得

16

4+k2

=4×

4

4k2+1

，
解得k=±1．
∴直線l的方程為x-y=0，或x+y=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．