Question

將半徑為72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下扇環(huán)ABCD的面積為648πcm²．將這個(gè)扇環(huán)圍成一個(gè)圓臺(tái)，若圓臺(tái)的下底與上底半徑之差是6cm．求圓臺(tái)的高．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，圓臺(tái)上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，高為h．根據(jù)弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式得到關(guān)于α和R₁的方程組，解之可得α=

π

3

且R₁=36cm，由此算出r₁、r₂，從而可求圓臺(tái)的高h(yuǎn)．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)扇形的圓心角是α弧度，扇形OCD的半徑為R₁，
扇形OAB的半徑為R₂=72，圓臺(tái)上底面半徑為r₁，下底面半徑為r₂，圓臺(tái)高為h，
∵扇形OAB的面積S₂=

1

2

αR₂²=

1

2

α•72²，扇形OCD的面積S₁=

1

2

αR₁²
∴S₂-S₁=

1

2

α（72²-R₁²）=648πcm²，可得

1

2

α（72+R₁）（72-R₁）=648πcm²，①，
∵弧AB=αR₂=72α=2π•r₂，弧CD=αR₁=2πr₁，r₂-r₁=6
∴r₂=

36α

π

，r₁=

R1α

2π

，可得

72α-R1α

2π

=6，整理得

1

2

α（72-R₁）=6π，②，
將（2）代入（1），得6π•（72+R₁）=648πcm²，解得R₁=36cm
代入（2），得α=

π

3

，
從而得到r₁=6，r₂=12，圓臺(tái)母線長(zhǎng)為R₂-R₁=72-36=36
∴圓臺(tái)高h(yuǎn)=

362-(12-6)2

=6

35

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓側(cè)面展開(kāi)的扇環(huán)的數(shù)據(jù)，著重考查了弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式和圓臺(tái)的側(cè)面積等知識(shí)．