Question

9．已知中心在坐標原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別是F₁、F₂，這兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，若|PF₁|=8，橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁，e₂，則$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． （1，4）
• C． （2，4）
• D． （4，8）

Answer 1

分析 利用待定系數(shù)法設出雙曲線和橢圓的方程，根據(jù)雙曲線和橢圓的定義得到a₁=4+c，a₂=4-c，然后利用離心率的公式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}=1$，$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}=1$．（a₁，a₂，b₁，b₂＞0，a₁＞b₁）
∵△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形，|PF₁|=8，
∴8+2c=2a₁，8-2c=2a₂，
即有a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），
再由三角形的兩邊之和大于第三邊，可得2c+2c＞8，
可得c＞2，即有2＜c＜4．
由離心率公式可得$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}}{c}+\frac{{a}_{2}}{c}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{c}$=$\frac{4+c+4-c}{c}$=$\frac{8}{c}$，
∵2＜c＜4，
∴$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{c}$＜$\frac{1}{2}$，
則2＜$\frac{8}{c}$＜4，
即2＜$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$＜4，
故$\frac{1}{{e}_{1}}$+$\frac{1}{{e}_{2}}$的取值范圍是（2，4），
故選：C

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系和定義得到a₁=4+c，a₂=4-c，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求出c的范圍是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．