Question

12．已知cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，α+β∈（$\frac{7π}{4}$，2π），α-β∈（$\frac{3π}{4}$，π），求cos2α的值．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（α+β），sin（α-β）的值，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計算求值得解．

解答 解：∵cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，α+β∈（$\frac{7π}{4}$，2π），
可得：sin（α+β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$．
cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，α-β∈（$\frac{3π}{4}$，π），
可得：sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{3}{5}$．
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{4}{5}$）-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{3}{5}$=-$\frac{7}{25}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．