Question

如圖所示，在水平放置的邊長為40cm的正方形軌道模型上，質(zhì)點(diǎn)甲從A點(diǎn)出發(fā)以8cm/s的速度沿點(diǎn)A-B-C方向運(yùn)動，同時另一質(zhì)點(diǎn)乙從B點(diǎn)出發(fā)以10cm/s的速度沿點(diǎn)B-C-D方向運(yùn)動．
（1）試將甲、乙兩點(diǎn)連線和折線A-B-C-D圍成的封閉圖形的面積S表示為時間t（0≤t≤8）的函數(shù)；
（2）在第（1）問的條件下，求出封閉圖形面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的值

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，封閉圖形從三角形，梯形，矩形，梯形，再到三角形變化，從而寫出函數(shù)表達(dá)式；
（2）求分段函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化為實(shí)際意義即可．

解答： 解：（1）由題意，
S=

1 2 •(40-8t)•10t，0≤t≤4 1 2 (40-8t+10t-40)•40，4＜t＜5 1 2 (80-8t)(10t-40)，5≤t≤8

，
（2）當(dāng)0≤t≤4時，
S=40（5-t）t，≤40×2.5×2.5=250，
當(dāng)4＜t＜5時，
S=40t＜200，
當(dāng)5≤t≤8時，
S=40（10-t）（t-4）≤40×3×3=360，
則封閉圖形面積S的最大值為360cm²．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，同時考查了分段函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．