Question

13．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且為可導(dǎo)函數(shù)，若對?x∈R，總有（2-x）f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則（　�。�

• A． f（x）＞0恒成立
• B． f（x）＜0恒成立
• C． f（x）的最大值為0
• D． f（x）與0的大小關(guān)系不確定

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的最大值小于0，從而證出結(jié)論

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$
∴g′（x）=$\frac{x[（2-x）f（x）+xf′（x）]}{{e}^{x}}$，
∵對?x∈R，總有（2-x）f（x）+xf′（x）＜0成立，
當(dāng)x＞0時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減
當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴$\frac{{x}^{2}f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立
∴f（x）＜0恒成立，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．