Question

13．（1）如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是對角線DB的延長線上一點，且OB=BE．記$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a\;，\;\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，試用向量$\overrightarrow a\;，\;\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{AE}$．
（2）若正方形ABCD邊長為1，點P在線段AC上運動，求$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$的取值范圍．
（3）設$\overrightarrow{OA}=\;\overrightarrow a，\;\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$，已知$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，當△AOB的面積最大時，求∠AOB的大�。�

Answer 1

分析 （1）方法一：由向量的減法及加法運算，求得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$，代入即可求得$\overrightarrow{AE}$；
方法二：利用加法的平行四邊形法則，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AE}$），則$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$；
（2）建立直角坐標，根據(jù)向量的坐標表示，二次函數(shù)的性質，即可求得$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$的取值范圍；
（3）由||²+|$\overrightarrow$|²=8，設||=2$\sqrt{2}$cosθ，|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{2}$sinθ；這樣便可得出S_△AOB=2sin2θsin∠AOB，從而sin2θ=1時△AOB的面積最大，這樣由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2即可得到cos∠AOB=$\frac{1}{2}$，從而便可得出∠AOB的大�。�

解答 解：（1）由$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
由O為BD的中點，且OB=BE．則DB=OE，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，．
方法二：由向量加法的平行四邊形法則可知：$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
由OB=BE．則$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{AE}$），
則$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$．
（2）解：以AB，AC 為x，y軸建立直角坐標系則
A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）
設P（x，x）（0≤x≤1），$\overrightarrow{AP}$=（x，x），$\overrightarrow{PD}$=（1-x，-x）
∴$\overrightarrow{AP}$=（-x，1-x），
$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$=2x（1-2x）=-4（x-$\frac{1}{4}$）²+4（0≤x≤1）
∴當x=$\frac{1}{4}$時，函數(shù)有最大值$\frac{1}{4}$；當x=1時函數(shù)有最小值-2
∴$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PD}）$的取值范圍[-2，$\frac{1}{4}$]，
（3）根據(jù)條件|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²-4+|$\overrightarrow$|²=4；
∴||²+|$\overrightarrow$|²=8；
∴設||=2$\sqrt{2}$cosθ，|$\overrightarrow$|=2$\sqrt{2}$sinθ；
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|||$\overrightarrow$|sin∠AOB=2sin2θsin∠AOB；
∴sin2θ=1時，△AOB的面積最大；
∴此時，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$丨•丨$\overrightarrow$|cos∠AOB=4sin2θcos∠AOB=4cos∠AOB=2；
∴cos∠AOB=$\frac{1}{2}$；
∴∠AOB=$\frac{π}{3}$，
∴∠AOB為$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查向量的坐標運算，平面向量加法及減法運算，考查計算能力，屬于中檔題．