Question

直線l傾斜角為45°且與拋物線x²=2py（p＞0）交于A，B兩點，A，B兩點的橫坐標(biāo)之和為2．
（Ⅰ）求此拋物線的方程；
（Ⅱ）若此拋物線的準(zhǔn)線為t，過t上一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，判斷直線MN是否過此拋物線的焦點F，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,作圖題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意先設(shè)直線l的方程為y=x+b，再與拋物線x²=2py（p＞0）聯(lián)立消y得求得p=1，從而解得；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，

x12

2

），N（x₂，

x 2 2

2

）；再求導(dǎo)y′=x，從而寫出M點處的切線為y=x₁（x-x₁）+

x12

2

；N點處的切線為y=x₂（x-x₂）+

x 2 2

2

；從而得到x₁x₂=-1；且可寫出MN的直線方程為

2y- x 2 1

x 2 2 - x 2 1

=

x-x1

x2-x1

；再令x=0求y即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，設(shè)直線l的方程為y=x+b；
與拋物線x²=2py（p＞0）聯(lián)立消y得，
x²-2px-2pb=0；
故由A，B兩點的橫坐標(biāo)之和為2知，
2p=2；
故p=1；
故求此拋物線的方程為x²=2y；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，

x12

2

），N（x₂，

x 2 2

2

）；
又由y′=x得；
M點處的切線為y=x₁（x-x₁）+

x12

2

；
N點處的切線為y=x₂（x-x₂）+

x 2 2

2

；
聯(lián)立方程y=x₁（x-x₁）+

x12

2

與y=x₂（x-x₂）+

x 2 2

2

得，
x=

x1+x2

2

，y=

x1x2

2

；
故兩者交點為（

x1+x2

2

，

x1x2

2

）；
而交點y=-

1

2

，即

x1x2

2

=-

1

2

；
故x₁x₂=-1；
故MN的直線方程為

2y- x 2 1

x 2 2 - x 2 1

=

x-x1

x2-x1

；
當(dāng)x=0時，2y=（-x₁）（x₁+x₂）+

x

2 1

=-x₁x₂=1；
故y=

1

2

；
故直線MN恒過定點（0，

1

2

），即此拋物線的焦點F．

點評：本題考查了學(xué)生的作圖能力及圓錐曲線及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．