Question

在△ABC中，|

AB

|=1，|

AC

|=2，|

BC

|∈[

3

，

5

]，記

AB

與

AC

的夾角為θ．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理求得cosθ=

5-a2

4

，結(jié)合 a∈[

3

，

5

]，可得 0≤cosθ≤

1

2

，從而求得θ的取值范圍．
（Ⅱ）化簡函數(shù)的解析式為 2sin（2θ-

π

3

）+1，根據(jù)θ∈[

π

3

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理知：cosθ=

1+4-a2

2×1×2

=

5-a2

4

，又 a∈[

3

，

5

]，
所以 0≤cosθ≤

1

2

，又 θ∈（0，π），可得θ∈[

π

3

，

π

2

]，即為θ的取值范圍．
（Ⅱ）函數(shù)f(θ)=2sin2(

π

4

+θ)-

3

cos2θ=2sin（2θ-

π

3

）+1，
因為θ∈[

π

3

，

π

2

]，可得 2θ-

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，sin（2θ-

π

3

）∈[

3

2

，1]，
因此，函數(shù)的最大值為2+1=3，最小值為

3

+1．

點評：本題主要考查余弦定理、三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．