Question

已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），端點(diǎn)A在圓（x+1）²+y²=4上運(yùn)動．
（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中的軌跡為C，若過點(diǎn)N（1，2）的直線l被軌跡C截得的線段長為

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用M、O′為AB、PB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出：MO′∥PA且MO′=

1

2

PA=1，從而動點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)′為圓心，半徑長為1的圓．最后寫出其軌跡方程即可．
（2）設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離，半徑與半弦長滿足的勾股定理，求出直線l的方程．

解答： 解：（1）圓（x+1）²+y²=4的圓心為P（-1，0），半徑長為2，
線段AB中點(diǎn)為M（x，y）
取PB中點(diǎn)O′，其坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）
∵M(jìn)、O′為AB、PB的中點(diǎn)，
∴MO′∥PA且MO′=

1

2

PA=1．
∴動點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)′為圓心，半徑長為1的圓．
所求軌跡方程為：（x-

3

2

）²+（y-

3

2

^）2=1，可見，M的軌跡是以（

3

2

，

3

2

）為圓心，半徑為1的圓．
（2）斜率不存在時，直線方程為x=1，滿足題意；
斜率存在時，設(shè)方程為y-2=k（x-1），
∵過點(diǎn)N的直線l被曲線C截得的弦長為

2

，
∴圓心到直線的距離為

2

2

，
∴

| 3 2 k- 3 2 -k+2|

k2+1

=

2

2

，
∴k=1，
∴直線l的方程為x-y+1=0或x=1．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，利用的是定義法，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．定義法是若動點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．