Question

9．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為120°，且$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=3$，則向量$2\overrightarrow a+3\overrightarrow b$在向量$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影為$\frac{19\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量數(shù)量積與向量投影的定義，計(jì)算即可．

解答 解：向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為120°，且$|{\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}|=3$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2×3×cos120°=-3，
∴（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+8$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+3${\overrightarrow}^{2}$=4×2²+8×（-3）+3×3²=19，
|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}）}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{4{×2}^{2}+4×（-3）{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
∴向量$2\overrightarrow a+3\overrightarrow b$在向量$2\overrightarrow a+\overrightarrow b$方向上的投影為
|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|cos$＜2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow，\overrightarrow{2a}+\overrightarrow＞$
=|2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$|×$\frac{（2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow|×|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$
=$\frac{19}{\sqrt{13}}$
=$\frac{19\sqrt{13}}{13}$．
故答案為：$\frac{19\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的定義與向量投影的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．