Question

某羊皮手套生產(chǎn)廠計劃投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對生產(chǎn)的手套進行促銷．在一年內(nèi)，據(jù)測算銷售量S（萬雙）與廣告費x（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系是S=5-

2

x

．已知羊皮手套的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬雙羊皮手套仍需再投入25萬元．（年銷售收入=年生產(chǎn)成本的120%+年廣告費的50%）．
（I）將羊皮手套的年利潤L（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數(shù)；
（II）當(dāng)年廣告費投入為多少萬元時，此廠的年利潤最大，最大利潤為多少？（年利潤=年銷售收入-年生產(chǎn)成本-年廣告費）．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：

3

=1.732，

5

=2.236，

6

=2.449）

Answer 1

分析：（I）手套的年成本為（25S+6）萬元，年銷售收入為（25S+6）×120%+x•50%，年利潤為L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，整理即得；
（II）由利潤函數(shù)L的解析式，利用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），可得L的最大值．

解答：解：（I）由題意知，羊皮手套的年成本為（25S+6）萬元，
年銷售收入為（25S+6）×120%+x•50%，
年利潤為L=（25S+6）×120%+x•50%-（25S+6）-x，
即L=

1

5

(25S+6)-

1

2

x．
又S=5-

2

x

（x＞0），所以L=5S+

6

5

-

1

2

x=5(5-

2

x

)+

6

5

-

1

2

x=

131

5

-

10

x

-

1

2

x(x＞0)．
（II）由（I）知，L=

131

5

-

10

x

-

1

2

x=26.2-(

10

x

+

x

2

)≤26.2-2

10 x • x 2

．26.2-2

5

=26.2-2×2.236=21.728≈21.73．
當(dāng)且僅當(dāng)

10

x

=

x

2

，即x=2

5

=2×2.236≈4.47時，L有最大值21.73．
因此，當(dāng)年廣告費投入約為4.47萬元時，此廠的年利潤最大，最大年利潤約為21.73萬元．

點評：本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，在建立函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，利用基本不等式，求得函數(shù)的最值．