已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
3
3
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A．B分別是橢圓的左、右頂點，P為橢圓C上的動點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若P與A、B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1、k2，證明：k1•k2為定值；
（3）若M為過P且垂直于x軸的直線上的點，且
|OP|
|OM|
=2，求點M的軌跡方程．
分析：（1）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出P的坐標，將其代入橢圓的方程得到P的坐標的關(guān)系，寫出A，B的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出k1，k2，將P的坐標的關(guān)系代入k1k2化簡求出其值．
（3）設(shè)出M的坐標，求出P的坐標，利用兩點的距離公式將已知的幾何條件用坐標表示，化簡即可求點M的軌跡方程．
解答：（1）解：由題意可得圓的方程為x2+y2=b2，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴d=
2
2
=b，即b=
2
，
又e=
c
a
=
3
3
，即a=
3
c，
∵a2=b2+c2，
∴a=
3
，c=1，
∴橢圓方程為
x2
3
+
y2
2
=1；
（2）證明：設(shè)P（x0，y0）（y0≠0），A（-
3
，0），B（
3
，0），
∴k1=
y0
x0+
3
，k2=
y0
x0-
3

∵
x02
3
+
y02
2
=1，∴y02=2-
2x02
3
，
∴k1•k2=
y02
x02-(
3
)2
=
2-
2x02
3
x02-(
3
)2
=-
2
3
；
（3）解：設(shè)M（x，y），其中x∈[-
3
，
3
]．
由已知
|OP|
|OM|
=2及點P在橢圓C上可得
x2+2-
2
3
x2
x2+y2
=4
整理得
x2
6
11
+
y2
2
=1，其中x∈[-
3
，
3
]．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線的斜率，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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