Question

【題目】已知f（ex）=ax2﹣x，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求x∈（0，1]時(shí)，f（x）的值域；
（3）設(shè)a＞0，若h（x）=[f（x）+1﹣a]logxe對(duì)任意的x1 ， x2∈[e﹣3 ， e﹣1]，總有|h（x1）﹣h（x2）|≤a+ 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)ex=t，則x=lnt＞0，所以f（t）=a（lnt）2﹣lnt

所以f（x）=a（lnx）2﹣lnx（x＞0）

（2）解：設(shè)lnx=m（m≤0），則f（x）=g（m）=am2﹣m

當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=g（m）=﹣m，g（m）的值域?yàn)閇0，+∞）

當(dāng)a≠0時(shí)，

若a＞0， ，g（m）的值域?yàn)閇0，+∞）

若a＜0， ，g（m）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，g（m）的值域?yàn)? ）

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）

當(dāng)a＜0時(shí)f（x）的值域?yàn)?

（3）解：因?yàn)? 對(duì)任意 總有

所以h（x）在[e﹣3，e﹣1]滿足

設(shè)lnx=s（s∈[﹣3，﹣1]），則 ，s∈[﹣3，﹣1]

當(dāng)1﹣a＜0即a＞1時(shí)r（s）在區(qū)間[﹣3，﹣1]單調(diào)遞增

所以 ，即 ，所以 （舍）

當(dāng)a=1時(shí)，r（s）=s﹣1，不符合題意

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則 =a（s+ ）﹣1，s∈[﹣3，﹣1]

若 即 時(shí)，r（s）在區(qū)間[﹣3，﹣1]單調(diào)遞增

所以 ，則

若 即 時(shí)r（s）在 遞增，在 遞減

所以 ，得

若 即 時(shí)r（s）在區(qū)間[﹣3，﹣1]單調(diào)遞減

所以 ，即 ，得

綜上所述：

【解析】（1）利用換元法進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)函數(shù)的解析式即可求函數(shù)的值域．（3）根據(jù)函數(shù)恒成立問題，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．