【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,AD⊥平面PDC,ADBCPDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求異面直線APBC所成角的余弦值;

(2)求證:PD⊥平面PBC

(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)(2)見解析(3)

【解析】

(Ⅰ)由已知AD∥BC,從而∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線APBC所成的角,由此能求出異面直線APBC所成角的余弦值.
(Ⅱ)由AD⊥平面PDC,得AD⊥PD,由BC∥AD,得PD⊥BC,再由PD⊥PB,得到PD⊥平面PBC.
(Ⅲ)過點DAB的平行線交BC于點F,連結(jié)PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角,由PD⊥平面PBC,得到∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角,由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

(1)如圖,由已知ADBC,故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線APBC所成的角.

因為AD⊥平面PDC,直線PD平面PDC,所以ADPD.

在Rt△PDA中,由已知,得AP,

故cos∠DAP.

所以,異面直線APBC所成角的余弦值為.

(2)證明:由(1)知ADPD.又因為BCAD,所以PDBC.又PDPBPBBCB,所以PD⊥平面PBC.

(3)解:過點DDFAB,交BC于點F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.

因為PD⊥平面PBC,所以PFDF在平面PBC上的射影,

所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角.

由于ADBC,DFAB,故BFAD=1.

由已知,得CFBCBF=2.

ADDC,所以BCDC.

在Rt△DCF中,可得DF=2,

在Rt△DPF中,可得sin∠DFP.

所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)有關(guān)于x 的一元二次方程

(1)是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù),是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實數(shù)根的概率;

(2)是從區(qū)間中任取的一個實數(shù),是從區(qū)間中任取的一個實數(shù),求上述方程有實數(shù)根的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面底面,,且,點,分別為,,的中點.

(Ⅰ)求證:平面

(Ⅱ)求證:平面

(Ⅲ)寫出四棱錐的體積.(只寫出結(jié)論,不需要說明理由)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè), 分別為雙曲線的左、右焦點, 為雙曲線的左頂點,以, 為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于, 兩點,且滿足,則該雙曲線的離心率為________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若某程序框圖如圖所示,則該程序運行后輸出的值是(

A.4
B.5
C.6
D.7

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,向量 =(cosA+ ,sinA),向量 =(﹣sinA,cosA),若| + |=2.
(1)求角A的大;
(2)若b=4 ,且c= a,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若且函數(shù)的值域為,的表達(dá)式;

(2)在(1)的條件下, 當(dāng), 是單調(diào)函數(shù), 求實數(shù)k的取值范圍;

(3)設(shè), 為偶函數(shù), 判斷能否大于零?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)集合P={(x,y)||x|+|y|≤1,x∈R,y∈R},Q={(x,y)|x2+y2≤1,x∈R,y∈R},R={(x,y)|x4+y2≤1,x∈R,y∈R}則下列判斷正確的是(
A.PQR
B.PRQ
C.QPR
D.RPQ

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在中, , , 分別為, 的中點.將沿折起到的位置,使,如圖2,連結(jié)

(Ⅰ)求證:平面 平面;

(Ⅱ)若中點,求直線與平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)線段上是否存在一點,使二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案