Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于，兩點．

（1）如果，點的橫坐標為，求的值；

（2）若角的終邊與單位圓交于C點，設角、、的正弦線分別為，求證：線段能構成一個三角形；

（3）探究第（2）小題中的三角形的外接圓面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由同角間基本關系式,由可得，據三角函數定義可得，，由兩角和的余弦公式將展開代入可得其值；（2）由題意知，，.再利用正余弦值證明兩邊之和大于第三邊和二邊之差小于第三邊,可判斷三條線段能構成一個三角形；（3） 設的邊長分別為,由余弦定理可得,進一步得,再由正弦定理,可得值.

試題解析:

（1）已知是銳角，根據三角函數的定義，得

又，且是銳角，所以．

所以．

（2）證明：依題意得，，，

因為，所以，，于是有

，①

又∵，

，②

同理，，③

由①，②，③可得，線段能構成一個三角形.

（3）第（2）小題中的三角形的外接圓面積是定值，且定值為.

不妨設的邊長分別為，其中角、、的對邊分別為.則由余弦定理，得：.

因為，所以，所以，

設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，∴，

所以的外接圓的面積為.