Question

15．設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當x∈[0，1]時，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x，則
①2是函數(shù)f（x）的一個周期；
②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0；
④x=1是函數(shù)f（x）的一個對稱軸；
其中所有正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，分析出函數(shù)的周期性，單調性，最值，對稱性，逐一分析四個命題的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），
∴①2是函數(shù)f（x）的一個周期，正確；
∵當x∈[0，1]時，f（x）=（${\frac{1}{2}}$）^1-x為增函數(shù)，
故x∈[-1，0]時，f（x）為減函數(shù)，
結合①中函數(shù)的周期性，可得：
②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，正確；
③當x為奇數(shù)時，函數(shù)f（x）的最大值是1，當x為偶數(shù)時，函數(shù)的最小值是$\frac{1}{2}$，錯誤；
④x=1是函數(shù)f（x）的一個對稱軸，正確；
故答案為：①②④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的周期性，單調性，最值，對稱性，難度中檔．