設(shè)橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).
（1）問：直線與能否垂直？若能，求之間滿足的關(guān)系式；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上.若，求之間滿足的關(guān)系式.

（1）直線與不能垂直；（2）

解析試題分析：（1）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去整理為關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橛袃蓚�交點(diǎn)則判別式應(yīng)大于0，由韋達(dá)定理可得根與系數(shù)的關(guān)系，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)。求出直線的斜率，假設(shè)兩直線垂直則斜率相乘等于，解出的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式及橢圓中的關(guān)系判斷假設(shè)成立與否。（2）∵M(jìn)為ON的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵，∴四邊形OANB為矩形，∴，轉(zhuǎn)化為向量問題，可得的關(guān)系式。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入橢圓方程，與上式聯(lián)立消去即可得之間滿足的關(guān)系式。
試題解析：解答：（1）∵斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)，而且與橢圓相交于兩點(diǎn)，
∴可以設(shè)直線的方程為.
∵，∴，
∴.    ①             1分
∵直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，∴

. ②          2分
且.  ③              3分
∵為線段的中點(diǎn)，∴,
∴，∴.     4分
假設(shè)直線與能垂直.
∵直線的斜率為1，∴直線的斜率為-1，
∴，∴.                  5分
∵在橢圓方程中，，
∴假設(shè)不正確，在橢圓中直線與不能垂直.             6分
（2）∵M(jìn)為ON的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，∴四邊形OANB為平行四邊形.
∵，∴四邊形OANB為矩形，∴，         8分
∴，∴，∴，
∴，
∴，整理得.   10分
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
∴. 此時，滿足，
消去得，即.            12分
考點(diǎn)：1直線與橢圓的位置關(guān)系；2直線垂直時斜率的關(guān)系；3轉(zhuǎn)化思想。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線。命題曲線與軸交于不同的兩點(diǎn)，若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)、為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，且．圓的方程是．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

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已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2（1，0），點(diǎn) 在橢圓上.

（1）求橢圓方程；
（2）點(diǎn)在圓上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知定點(diǎn)，曲線C是使為定值的點(diǎn)的軌跡，曲線過點(diǎn).
（1）求曲線的方程；
（2）直線過點(diǎn)，且與曲線交于，當(dāng)的面積取得最大值時，求直線的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)是曲線上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接、，設(shè)的角平分線交曲線的長軸于點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線，點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn).
（1）若，拋物線的焦點(diǎn)與中點(diǎn)的連線垂直于軸，求直線的方程；
（2）設(shè)為小于零的常數(shù)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求證：直線過定點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓與橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，且離心率相同．橢圓的長軸長為，且橢圓的左準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長為，已知點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)．

⑴求橢圓與橢圓的方程；
⑵設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，若直線剛好平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑶若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動點(diǎn)，且的三邊所在直線的斜率滿足．
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若是軌跡上異于點(diǎn)的一個點(diǎn)，且，直線與交于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)，使得和的面積滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，一個頂點(diǎn)為.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為的直線，使直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，滿足. 若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

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