Question

10．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2}{x}$+2x在[1，+∞）上為單調(diào)遞增的函數(shù)，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在[1，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，4]．

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{2}{x}$-2x，求出a≥0，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：由f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2≥0，得：a≥$\frac{2}{x}$-2x，
設(shè)h（x）=$\frac{2}{x}$-2x，則a≥h（x）_max=h（1）=0，
g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{alnx}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$+2，
g′（x）=$\frac{ax-axlnx-4}{{x}^{3}}$，（x＞1），
設(shè)t（x）=ax-axlnx-4，t′（x）=-alnx，
a≥0時(shí)，t′（x）≤0，t（x）在[1，+∞）遞減，
故t（x）_max=t（1）=a-4≤0，
綜上，0≤a≤4．
故答案為：[0，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．