Question

18．設(shè){a_n}是各項(xiàng)均不相等的數(shù)列，S_n為它的前n項(xiàng)和，滿足λna_n+1=S_n+1（n∈N⁺，λ∈R）．
（1）若a₁=1，且a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求λ的值；
（2）若{a_n}的各項(xiàng)均不相等，問(wèn)當(dāng)且僅當(dāng)λ為何值時(shí)，a₂，a₃，…，a_n，…成等差數(shù)列？試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2即可列方程解出λ；
（2）根據(jù)條件可得$\frac{λ}{1-λ}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$，故只需令$\frac{λ}{1-λ}$=1即可得出得出λ=$\frac{1}{2}$，再驗(yàn)證λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列成等差數(shù)列即可．

解答 解：（1）令n=1，2，得$\left\{\begin{array}{l}λ{(lán)a_2}={a_1}+1=2\\ 2λ{(lán)a_3}={S_2}+1={a_1}+{a_2}+1\end{array}\right.$，
又由a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，所以2a₂=a₁+a₃=1+a₃，
解得$λ=\frac{{3±\sqrt{5}}}{2}$．
（2）當(dāng)且僅當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，a₂，a₃，…，a_n，…成等差數(shù)列，
證明如下：
由已知λna_n+1=S_n+1，當(dāng)n≥2時(shí)，λ（n-1）a_n=S_n-1+1，
兩式相減得λna_n+1-λna_n+λna_n+λa_n=a_n，即λn（a_n+1-a_n）=（1-λ）a_n，
由于{a_n}個(gè)各項(xiàng)均不相等，所以$\frac{λn}{1-λ}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}，（n≥2）$，
當(dāng)n≥3時(shí)，所以$\frac{λ（n-1）}{1-λ}=\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$
兩式相減可得$\frac{λ}{1-λ}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$，
①當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$，n≥3時(shí)，$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}=\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}$+1，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，即2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥3），
故a₂，a₃，…，a_n，…成等差數(shù)列．
②再證當(dāng)a₂，a₃，…，a_n，…成等差數(shù)列時(shí)，$λ=\frac{1}{2}$，
∵a₂，a₃，…，a_n，…成等差數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥3），可得$\frac{a_n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}=\frac{a_n}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}-\frac{{{a_{n-1}}}}{{{a_n}-{a_{n-1}}}}=1=\frac{λ}{1-λ}$，
所以$λ=\frac{1}{2}$，
所以當(dāng)且僅當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，a₂，a₃，…，a_n，…成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題．