Question

20、已知等差數(shù)列{a_n}的首項為a，公差為b，等比數(shù)列{b_n}的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1
的正整數(shù)，且a₁＜b₁，b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的n∈N₊，總存在m∈N₊，使得a_m+3=b_n成立，求b的值；
（3）令C_n=a_n+1+b_n，問數(shù)列{C_n}中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知a_n=a+（n-1）b，b_n=b•a^n-1．b≥3．a(chǎn)＜3．再由2≤a＜3，根據(jù)a∈N，可得a=2．
（2）由題意知b（2^n-1-m+1）=5．再b≥3和數(shù)的整除性，可知b是5的約數(shù)．故2^n-1-m+1=1，b=5．
（3）設(shè)數(shù)列{C_n}中，C_n，C_n+1，C_n+2成等比數(shù)列，由C_n=2+nb+b•2^n-1，（C_n+1）²=C_n•C_n+2，得（2+nb+b+b•2ⁿ）²=（2+nb+b•2^n-1）（2+nb+2b+b•2ⁿ⁺¹）．由此可以推出當b≠4時，不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列；當b=4時，數(shù)列{C_n}中的第二、三、四項成等比數(shù)列，這三項依次是18，30，50．

解答：解：（1）由已知，得a_n=a+（n-1）b，b_n=b•a^n-1．由a₁＜b₁，b₂＜a₃，得a＜b，ab＜a+2b．
因a，b都為大于1的正整數(shù)，故a≥2．又b＞a，故b≥3．
再由ab＜a+2b，得（a-2）b＜a．
由b＞a，故（a-2）b＜b，即（a-3）b＜0．
由b≥3，故a-3＜0，解得a＜3．
于是2≤a＜3，根據(jù)a∈N，可得a=2．
（2）由a=2，對于任意的n∈N^*，均存在m∈N₊，使得b（m-1）+5=b•2^n-1，則b（2^n-1-m+1）=5．
又b≥3，由數(shù)的整除性，得b是5的約數(shù)．
故2^n-1-m+1=1，b=5．
所以b=5時，存在正自然數(shù)m=2^n-1滿足題意．
（3）設(shè)數(shù)列{C_n}中，C_n，C_n+1，C_n+2成等比數(shù)列，由C_n=2+nb+b•2^n-1，（C_n+1）²=C_n•C_n+2，得（2+nb+b+b•2ⁿ）²=（2+nb+b•2^n-1）（2+nb+2b+b•2ⁿ⁺¹）．
化簡，得b=2ⁿ+（n-2）•b•2^n-1．（※）
當n=1時，b=1時，等式（※）成立，而b≥3，不成立．
當n=2時，b=4時，等式（※）成立．
當n≥3時，b=2ⁿ+（n-2）•b•2^n-1＞（n-2）•b•2^n-1≥4b，這與b≥3矛盾．
這時等式（※）不成立．
綜上所述，當b≠4時，不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列；當b=4時，數(shù)列{C_n}中的第二、三、四項成等比數(shù)列，這三項依次是18，30，50．

點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要注意挖掘題設(shè)條件中的隱含條件．