Question

如圖，正六棱錐被過(guò)棱錐高PO的中點(diǎn)O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)OO′和較小的棱錐PO′．
（1）求大棱錐、小棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；
（2）若大棱錐PO的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，小棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)小棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h，則大棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，斜高為2h，計(jì)算出大棱錐、小棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面面積，可得結(jié)論；
（2）先計(jì)算大棱錐的側(cè)面面積，再求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積．

解答： 解：（1）設(shè)小棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h，則大棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，斜高為2h，
∴大棱錐的側(cè)面面積為6×

1

2

×2a×2h=12ah，小棱錐的側(cè)面面積為6×

1

2

ah=3ah，
∴棱臺(tái)的側(cè)面面積為9ah，
∴大棱錐、小棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面面積之比為4：1：3；
（2）∵小棱錐的底面邊長(zhǎng)為4cm，
∴大棱錐的底面邊長(zhǎng)為8cm，
∵大棱錐PO的側(cè)棱長(zhǎng)為12cm，
∴斜高為

144-16

=8

2

，
∴大棱錐的側(cè)面面積為

1

2

×8×8

2

=32

2

，
∴棱臺(tái)的側(cè)面面積為24

2

，
棱臺(tái)的上底面積為6×

3

4

×4²=24

3

，下底面積為6×

3

4

×8²=96

3

，
∴截得的棱臺(tái)的表面積為120

3

+32

2

cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．