Question

16．已知$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，cosα+sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，則tanα=$4+\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方求得2sinαcosα的值，進(jìn)一步求出sinα-cosα的值，與原等式聯(lián)立求得sinα，cosα，再由商的關(guān)系求得tanα．

解答 解：由cosα+sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，兩邊平方得$co{s}^{2}α+si{n}^{2}α+2sinαcosα=\frac{5}{4}$，
∴$2sinαcosα=\frac{1}{4}$，
∵$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，∴sinα＞cosα，
則sinα-cosα=$\sqrt{（sinα-cosα）^{2}}=\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α-2sinαcosα}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{sinα-cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{sinα+cosα=\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，解得sinα=$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}$．
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$4+\sqrt{15}$．
故答案為：$4+\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．