Question

14．已知函數(shù)f（x）=e^-|x|+cosπx，給出下列命題：
①f（x）的最大值為2；
②f（x）在（-10，10）內(nèi)的零點(diǎn)之和為0；
③f（x）的任何一個(gè)極大值都大于1．
其中，所有正確命題的序號(hào)是①②③．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=e^-|x|+cosπx，分析函數(shù)的最值，對(duì)稱(chēng)性，極值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：由$\lim_{x→±∞}{e}^{-\left|x\right|}$→0，故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）的最大值為2，故①正確；
函數(shù)f（x）=e^-|x|+cosπx，滿(mǎn)足f（-x）=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)；
其零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故f（x）在（-10，10）內(nèi)的零點(diǎn)之和為0，故②正確；
當(dāng)cosπx取極大值1時(shí)，函數(shù)f（x）=e^-|x|+cosπx取極大值，但均大于1，故③正確；
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的最值，函數(shù)的極值，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的奇偶性等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．