【題目】(12分)已知橢圓的離心率為,橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)存在實(shí)數(shù)使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
【解析】
試題本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,利用橢圓的離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)列出方程,解出a和c的值,再利用計(jì)算b的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,將直線與橢圓聯(lián)立,消參,利用韋達(dá)定理,得到、,由于以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以,即,代入和,解出k的值.
試題解析:(1)設(shè)橢圓的焦半距為c,則由題設(shè),得,
解得,所以,
故所求橢圓C的方程為.
(2)存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
理由如下:
設(shè)點(diǎn),,
將直線的方程代入,
并整理,得.(*)
則,.
因?yàn)橐跃段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,
所以,即.
又,
于是,解得,
經(jīng)檢驗(yàn)知:此時(shí)(*)式的Δ>0,符合題意.
所以當(dāng)時(shí),以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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①. ②.函數(shù)在處的切線與直線平行
③.函數(shù)在上的最大值為
④.函數(shù)在 上單調(diào)遞減
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【題目】連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子,令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為ai , 若存在正整數(shù)k,使a1+a2+…+ak=6,則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字.
(1)求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率;
(2)若k=1,則你的得分為5分;若k=2,則你的得分為3分;若k=3,則你的得分為1分;若拋擲三次還沒找到你的幸運(yùn)數(shù)字則記0分,求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】(1)求過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸截距相等的直線的方程;
(2)已知正方形的中心為直線和直線的交點(diǎn),且邊所在直線方程為,求邊所在直線的方程.
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【題目】已知圓C的圓心在直線x﹣2y﹣3=0上,并且經(jīng)過A(2,﹣3)和B(﹣2,﹣5),求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
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【題目】設(shè)函數(shù) .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其圖象上任意一點(diǎn)P(x0 , y0)處切線的斜率 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若a=2,試求f(x)在區(qū)間 上的最大值.
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【題目】拋物線的焦點(diǎn)為上任一點(diǎn)在軸上的射影為中點(diǎn)為,.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)直線過與從下到上依次交于,與交于,直線過與從下到上依次交于,與交于,,的斜率之積為,設(shè)的面積分別為,是否存在使得成等比數(shù)列?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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