Question

已知等比數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=8，a32=

1

4

a2．a6．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

log2(Sn+1)．log2(Sn+1+1)

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）正項等比數(shù)列{a_n}中，由a32=

1

4

a₂•a₆可求其公比q，再由2a₁+3a₂=8可求得a₁，從而可求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（2）依題意，可求得b_n=

1

n

-

1

n+1

，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（1）∵正項等比數(shù)列{a_n}中，a32=

1

4

a₂•a₆=

1

4

a42，
∴q²=

a42

a32

=4，q＞0，
∴q=2；
又2a₁+3a₂=8，即2a₁+3a₁q=8，
∴a₁=1．
∴S_n=

1×(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1．
（2）∵b_n=

1

log2(Sn+1)．log2(Sn+1+1)

=

1

log2(2n-1+1)．log2(2n+1-1+1)

=

1

log22n．log22n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式，突出考查裂項法求和，求得b_n=

1

n

-

1

n+1

是關(guān)鍵，屬于中檔題．