Question

已知定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．
下面我們來(lái)考慮兩個(gè)函數(shù)：f（x）=4^-x+p•2^-x+1，g(x)=

1-q•2x

1+q•2x

．
（Ⅰ）當(dāng)p=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若q∈(

1

2

，

2

2

]，函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界是H（q），求H（q）的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：新定義

分析：（Ⅰ）根據(jù)有界函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)有界性的定義，求函數(shù)的最值即可求H（q）的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）=4^-x+2^-x+1
∵f（x）在（-∞，0）上遞減，
∴f（x）＞f（0）=3，
即f（x）在（-∞，1）的值域?yàn)椋?，+∞）．
故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）上不是有界函數(shù)．
（2）g(x)=

2

1+q•2x

-1，
∵q＞0，x∈[0，1]，
∴g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），
即

1-2q

1+2q

≤g(x)≤

1-q

1+q

．
∵q∈(

1

2

，

2

2

]，
∴

1-q

1+q

≥-

1-2q

1+2q

，
∴|g(x)|≤

1-q

1+q

，
∴H(q)≥

1-q

1+q

，
即 [

1-q

1+q

，+∞)
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．-3≤f（x）≤3，
∴-4•2x-(

1

2

)x≤p≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤p≤[2•2x-(

1

2

)x]min
設(shè)2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，
設(shè)1≤t₁＜t₂，h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，
又p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，
∴p（t）在[1，+∞）上遞增，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1．
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為[-5，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)有界性的應(yīng)用，利用函數(shù)有界性的定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．