Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）有相同的焦點(diǎn)（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中項(xiàng)，n²是2m²與c²的等差中項(xiàng)，則橢圓的離心率（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、

  1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）有相同的焦點(diǎn)（-c，0）和（c，0），可得c²=a²-b²=m²+n²．由于c是a、m的等比中項(xiàng)，n²是2m²與c²的等差中項(xiàng)，可得c²=am，2n²=2m²+c²．消去m，n，再利用離心率的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）有相同的焦點(diǎn)（-c，0）和（c，0），
∴c²=a²-b²=m²+n²．
∵c是a、m的等比中項(xiàng)，n²是2m²與c²的等差中項(xiàng)，
∴c²=am，2n²=2m²+c²．
∴m2=

c4

a2

，n²=

c4

a2

+

c2

2

，
∴

2c4

a2

+

c2

2

=c²，化為

c2

a2

=

1

4

．
∴e=

c

a

=

1

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題查克拉橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．