Question

已知

a

=（2+sinx，1），

b

=（2，-1），

c

=（sinx-3，1），

d

=（1，k），（x∈R，k∈R）．
（Ⅰ）若

a

與（

b

+

c

）共線，求sinx的值．
（Ⅱ）若k的值使（

a

+

d

）⊥（

b

+

c

），試求k的取值范圍．
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，將函數(shù)y=

a

•

b

的圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

后，再向左平移

π

8

個單位得到函數(shù)f（x）的圖象，試求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量的坐標(biāo)利用向量的共線的充要條件求出結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出向量垂直的充要條件，進(jìn)一步確定k的結(jié)果．
（Ⅲ）根據(jù)向量的數(shù)量積，再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換求出解析式，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）已知：

a

=(2+sinx，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(sinx-3，1)
則：

b

+

c

=(sinx-1，0)
由于

a

和

b

+

c

共線，
則：sinx-1=0
解得：sinx=1
（Ⅱ）由于

a

=(2+sinx，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(sinx-3，1)，

d

=(1，k)
則：

a

+

d

=(3+sinx，k+1)，

b

+

c

=(sinx-1，0)
由于(

a

+

d

)⊥(

b

+

c)

則：（3+sinx）（sinx-1）=0
所以：求得的結(jié)果與k值無關(guān)，k為任意實(shí)數(shù)．
（Ⅲ）y=

a

•

b

=2（2+sinx）-1=2sinx+3
圖象縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

后，再向左平移

π

8

個單位得到函數(shù)f（x）的圖象，
f（x）=2sin（2x+

π

4

）+3
由于x∈[0，

π

2

]
則：-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
所以：3-

2

≤f(x)≤5
則函數(shù)的值域?yàn)椋篺（x）∈[3-

2

，5]

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：向量共線的充要條件，向量垂直的充要條件的應(yīng)用．利用正弦型函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．