Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD的中點(diǎn)．

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線(xiàn)CD與平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD．∴PA⊥AB

又 底面ABCD是矩形，

∴AB⊥AD 且PA∩AD=A．

∴AB⊥平面PAD

∴AB⊥PD

∵PA=AD，M是PD的中點(diǎn)，

∴AM⊥PD

又AM∩AB=A

∴PD⊥平面ABM

又PD平面PCD

∴平面ABM⊥平面PCD．

（2）解：由題AB⊥AP，AB⊥AD，AD⊥AP．

分別以AB，AD，AP方向?yàn)閤、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∴C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），

M 為PD 中點(diǎn)，∴M（0，2，2）

∴ ， ，

設(shè)平面ACM的法向量為

即

取x=2，得法向量

記直線(xiàn)CD與平面ACM所成角為θ，

則 = =

故直線(xiàn)CD與平面ACM所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理，需先證得線(xiàn)面垂直，故證明PD⊥平面ABM．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量法求解線(xiàn)面所成角．
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．