已知A、B是拋物線y=1-x2上在y軸兩側的點，求過點A、B的切線與x軸圍成面積的最小值．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：本題先利用函數(shù)的對稱性，猜測兩切點的對稱，再利用導數(shù)求出曲線的切線方程，根據(jù)切線方程求三角形的面積，再研究其最小值．
解答： 解：由于拋物線y=1-x2關于y軸對稱，
不妨設點A（x0，y0）在拋物線上y軸的右側，研究過A點的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積的最小值．
本題過點A的切線即以點A為切點．
∵y=1-x2，∴y'=-2x．
∴y0=1-x02，k=-2x0．
∴切線方程為：y-1+x02=-2x0(x-x0)．
當x=0時，y=x02+1，
當y=0時，x=
x02+1
2x0
，
則該直線與x軸、y軸圍成的三角形面積為：
1
2
×(x02+1)×
x02+1
2x0
，（x0＞0）
記f(t)=
(t2+1)2
4t
，(t＞0)．
f ′(t)=
3t4+2t2-1
4t2
=
3(t2+1)(t+
3
3
)(t-
3
3
)
4t2
，
當0＜t＜
3
3
時，f'（t）＜0，f（x）單調遞減；
當t＞
3
3
時，f'（t）＜0，f（x）單調遞增．
當t=
3
3
時，f'（t）=0，f（x）取極小值，f(
3
3
)=
4
3
9
．
∴過拋物線y=1-x2上在y軸兩側的點A、B的切線與x軸圍成面積的最小值為
8
3
9
．
點評：本題考查的是導數(shù)知識，用導數(shù)求切線方程，利用切線方程得到函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的最值．本題有一定的思維量和運算量，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知方程|x2-a|-x+3=0（a＞0）有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

計算：
（1）(
32
×
3
)6+（
2×
2
） 
4
3
-（-2008）0；
（2）lg
1
2
-lg
5
8
+lg12.5-log89×log278．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）化簡：(a
2
3
b
1
2
)×(-3a
1
2
b
1
3
)÷(
1
3
a
1
6
b
5
6
)；
（2）計算：(
9
4
)
1
2
-(-9.6)0-(
27
8
)-
2
3
+(
3
2
)-2+
6(π-4)6
+
5(π-4)5
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=0，判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若x＞1時，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
3-2x
3+2x
（x∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的值域和零點；
（2）請判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性和單調性，并給予證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a為常數(shù)，a∈R，函數(shù)f（x）=x2+ax-lnx，g（x）=ex（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）過坐標原點O作曲線y=f（x）的切線，設切點為P（x0，y0），求x0的值；
（2）令F(x)=
f(x)
g(x)
，若函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知變數(shù)x，y滿足約束條件
x-3y+4≥0
x+2y-1≥0
3x+y-8≤0
，目標函數(shù)z=x+ay（a≥0）僅在點（2，2）處取得最大值，則a的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線C的頂點在原點，焦點F與雙曲線
x2
3
-
y2
6
=1的右焦點重合，過點P（2，0）且斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，則弦AB的中點到拋物線準線的距離為
 
．

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