設函數(shù)y=f （x）是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，當-1≤x≤1時，f （x）=x3，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
②f（x）在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3．
③f（x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為3x+4y-5=0．
④f（x）的圖象的對稱軸中，有x=±1，其中正確的命題是（　�。�
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④
分析：利用函數(shù)的奇偶性和f （x-2）=-f （x），可以得出函數(shù)的周期為4，然后結合-1≤x≤1時，f （x）=x3，得到函數(shù)在[1，3]上的解析式為f （x）=（2-x）3，利用導數(shù)的幾何意義求得f （x）在(
3
2
，f(
3
2
))處得切線的斜率，即可求得其切線方程．結合函數(shù)的奇偶性，周期性就可得到其圖象的對稱軸．
解答：解：∵f （x-2）=-f （x）對一切x∈R恒成立，
∴f （x-4）=-f （x-2）=-[-f（x）]=f（x）∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．①對
設1≤x≤3∴-1≤2-x≤1  又∵當-1≤x≤1時，f （x）=x3，
∴f（2-x）=（2-x）3=-f（x）∴f （x）=（2-x）3  ②對
∴f'（x）=-3（2-x）2∴f'（
3
2
）=-
3
4
=k
又∵f(
3
2
)=（2-
3
2
）3=
1
8
∴f （x）在(
3
2
，f(
3
2
))處的切線方程為：y-
1
8
=-
3
4
（x-
3
2
）即：3x+4y-5=0．③對
由f （x-2）=-f （x）=f（-x）知函數(shù)圖象的一條對稱軸為x=-1，又∵f（x）為奇函數(shù)，其圖象關于y軸對稱 
∴f （x）的圖象的對稱軸中，有x=1，故④對．
故選D．
點評：本題綜合考查了考查了函數(shù)的奇偶性，周期性和圖象的對稱性，以及利用函數(shù)的性質求函數(shù)在給定區(qū)間上的解析式的方法，同時考查了利用導數(shù)的幾何意義求其切線方程，是個中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

13、設函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f-1（x），且函數(shù)y=x-f（x）的圖象過點（1，2），則函數(shù)y=f-1（x）-x的圖象一定過點
（-1，2）
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）是定義在R+上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當x＞1時，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（
19
）的值；
（2）證明：f（x）在R+上是減函數(shù)；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)是y=f′（x），稱εyx=f′(x)•
x
y
為函數(shù)f（x）的彈性函數(shù)．
函數(shù)f（x）=2e3x彈性函數(shù)為
3x
3x
；若函數(shù)f1（x）與f2（x）的彈性函數(shù)分別為εf 1x與εf 2x，則y=f1（x）+f2（x）（f1（x）+f2（x）≠0）的彈性函數(shù)為
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
．
（用εf 1x，εf 2x，f1（x）與f2（x）表示）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=
f(x)，f(x)≤k
k，f(x)＞k
，取函數(shù)f（x）=2-x-e-x，若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），則K的最小值為
1
1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數(shù)f（x）=2+x+e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　　）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案