Question

6．已知橢圓$E：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線PA與PB的斜率之積；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-1，0）作與x軸不重合的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．問：是否存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A，若存在，請(qǐng)求出直線MN．若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知橢圓方程可得A，B的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線PA與PB的斜率之積，結(jié)合P在橢圓上可得答案；
（Ⅱ）設(shè)出MN所在直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合平面向量數(shù)量積不為0，說明不存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓方程可知A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（x₀，y₀），則${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
∴${k_{PA}}•{k_{PB}}=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-4}=\frac{{1-\frac{x_0^2}{4}}}{x_0^2-4}=-\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）不存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A．
事實(shí)上，設(shè)直線MN方程為：x=ty-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=ty-1\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（{{t^2}+4}）{y^2}-2ty-3=0$，
設(shè)交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${y_1}+{y_2}=\frac{2t}{{{t^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-3}{{{t^2}+4}}$，
若存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A，
則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{{x_1}+2，{y_1}}）•（{{x_2}+2，{y_2}}）$
=$（{{x_1}+2}）•（{{x_2}+2}）+{y_1}{y_2}=（{t{y_1}+1}）•（{t{y_2}+1}）+{y_1}{y_2}=（{{t^2}+1}）{y_1}{y_2}+t（{{y_1}+{y_2}}）+1$
=$\frac{{-3（{{t^2}+1}）}}{{{t^2}+4}}+\frac{{2{t^2}}}{{{t^2}+4}}+1=\frac{1}{{{t^2}+4}}=0$，
該方程無解，∴不存在以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．