Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓上異于其頂點的任意一點作圓的兩條切線，切點分別為（不在坐標軸上），若直線在軸， 軸上的截距分別為，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意可得c=1，將P代入橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）由題意：C1： ，設點P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），求出PM，PN方程，求得直線MN方程，求出MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，結合橢圓方程，即可得到定值．

試題解析：

（1）由題意得：c=1，所以a2=b2+1，
又因為點 在橢圓C上，所以可解得a2=4，b2=3，
所以橢圓標準方程為.

（2）由（1）知，設點，因為不在坐標軸上，所以，直線的方程為化簡得，同理可得直線的方程為： ，把點的坐標代入得，所以直線的方程為，令，得；令，得，所以又點在橢圓上，所以： ，即為定值.