Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的極大值為，極小值為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為的最小值小于等于9，二次函數(shù)根據(jù)軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論，得到答案.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的極小值和極大值，并且得到 的關(guān)系，以及與 的關(guān)系，表示出消去，然后令，將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù)，注意的取值范圍，從而求出的范圍.

（1）因為，

所以函數(shù)的最小值小于等于9.

（i）函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)，即時，

由，得，

因為，所以；

（ii）當(dāng)，即時，

由，得.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.

（2）因為，所以.

設(shè)，因為，

所以函數(shù)有兩個不同的零點，不妨設(shè)為，，且，

則，.

當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；

當(dāng)時，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).

所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，

所以，

又，，所以.

將代入，得，

設(shè)，則 ，

所以.

設(shè)，，則，

所以函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，

從而，

又，當(dāng)時，，所以，

即.

故的取值范圍為.