【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在直線上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證: .
【答案】(1)實(shí)數(shù)的取值范圍是;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍的問題?蓸(gòu)造函數(shù),經(jīng)分類討論得到恒成立時(shí)的取值范圍即可。(2)先證明對(duì)于任意的正整數(shù),不等式恒成立,即恒成立,也即恒成立,結(jié)合(1)③的結(jié)論,當(dāng), 時(shí)在上成立,然后令可得成立,再令即可得不等式成立。
試題解析:
(1)令,
則,
令,
則
①當(dāng)時(shí),有 ,于是在上單調(diào)遞增,從而,
因此在上單調(diào)遞增,
所以,符合題意。
②當(dāng)時(shí),有 ,于是在上單調(diào)遞減,從而,
因此在上單調(diào)遞減,
所以,不合題意;
③當(dāng)時(shí),令,
則當(dāng)時(shí), ,于是在上單調(diào)遞減,
從而,
因此在上單調(diào)遞減,
所以,而且僅有,不合題意.
綜上所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2)對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下:
對(duì)于任意的正整數(shù),不等式恒成立,
即恒成立,
變形為恒成立,
在(1)③中,令, ,
則得在上單調(diào)遞減,
所以,
即,
令,則得成立.
當(dāng)時(shí),可得.
即,
所以成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(2)若是函數(shù)圖像上不同的三點(diǎn),且,試判斷與之間的大小關(guān)系,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù) 的極小值;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍.
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【題目】《萊因德紙草書》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一,書中有這樣一道題:把120個(gè)面包分成5份,使每份的面包數(shù)成等差數(shù)列,且較多的三份之和恰好是較少的兩份之和的7倍,則最少的那份有( )個(gè)面包.
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0.
(1)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,該圓恒過一定點(diǎn);
(2)若該圓與圓x2+y2=4相切,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一汽車廠生產(chǎn)A、B、C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào),某月的產(chǎn)量如表(單位:輛):
轎車A | 轎車B | 轎車C | |
舒適型 | 100 | 150 | z |
標(biāo)準(zhǔn)型 | 300 | 450 | 600 |
按類型分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有A類轎車10輛.
(1)求z的值;
(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本.將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下:4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2,把這8輛轎車的得分看作一個(gè)總體,從中任取一個(gè)數(shù),求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有4名學(xué)生參加演講比賽,有兩個(gè)題目可供選擇,組委會(huì)決定讓選手通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子選擇演講的題目,規(guī)則如下:選手?jǐn)S出能被3整除的數(shù)則選擇題目,擲出其他的數(shù)則選擇題目.
(1)求這4個(gè)人中恰好有1個(gè)人選擇題目的概率;
(2)用分別表示這4個(gè)人中選擇題目的人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中,隨機(jī)抽取了100名電視觀眾,相關(guān)的數(shù)據(jù)如表所示:
(Ⅰ)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5名,大于40歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名?
(Ⅱ)在上述抽取的5名觀眾中任取2名,求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率.
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