Question

設{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，首項a₁=

1

64

，對于n∈N^*，b_n=log 

1

2

a_n，當且僅當n=4時，數(shù)列{b_n}的前n項和取得最大值，則q的取值范圍為

（2

2

，4）

．

Answer 1

分析：由b_n+1-b_n=log 

1

2

a_n+1-log 

1

2

a_n=log 

1

2

an+1

an

=log 

1

2

q，得出數(shù)列{b_n}是以log 

1

2

q為公差，以log 

1

2

a₁=6為首項的等差數(shù)列，由已知當且僅當n=4時前n項和最大，通過解不等式組 求出公比q的取值范圍即可．

解答：解：因為等比數(shù)列的公比為q，首項a1=

1

64

，
∴b_n+1-b_n=log 

1

2

a_n+1-log 

1

2

a_n=log 

1

2

an+1

an

=log 

1

2

q，
∴數(shù)列{b_n}是以log 

1

2

q為公差，以log 

1

2

a₁=6為首項的等差數(shù)列，
∴b_n=5+（n-1）log 

1

2

q．
又當且僅當n=4時前n項和最大，
∴l(xiāng)og 

1

2

q＜0，且

b4＞0 b5＜0

，
∴

6+3log 1 2 q＞0 6+4log 1 2 q＜0

，
∴-2＜log 

1

2

q＜-

3

2

，即2

2

＜q＜4，
故答案為：（2

2

，4）．

點評：本題考查了等差數(shù)列的判定，前n項和最值情況．本題得出數(shù)列{b_n}是以log 

1

2

q為公差，以log 

1

2

a₁=6為首項的等差數(shù)列為關鍵．