Question

【題目】如圖,直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與直線y=－5交于Q點(diǎn).

（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方（含A、B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí),求ΔOPQ面積的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解方程組 得 或

即A(－4,－2),B(8,4),從而AB的中點(diǎn)為M(2,1).由kAB= ,直線AB的垂直平分線方程

y－1= (x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)．

（2）

【解答】直線OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x, x2－4).∵點(diǎn)P到直線OQ的距離 ,

,

∴.

∵P為拋物線上位于線段AB下方的點(diǎn),且P不在直線OQ上,∴－4≤x<4 －4或4 －4<x≤8.

∵函數(shù)y=x2+8x－32在區(qū)間[－4,8]上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=8時(shí),ΔOPQ的面積取到最大值30．

【解析】（1）把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，則AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率，進(jìn)而求得AB垂直平分線的方程，把y=-5代入求得Q的坐標(biāo)．（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用P到直線0Q的距離求得三角形的高，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得QO的長(zhǎng)，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值．