Question

13．D為△ABC的BC邊上一點(diǎn)，$\overline{DC}=-2\overline{DB}$，過(guò)D點(diǎn)的直線分別交直線AB、AC于E、F，若$\overline{AE}=λ\overline{AB}，\overline{AF}=μ\overline{AC}$，其中λ＞0，μ＞0，則$\frac{2}{λ}+\frac{1}{μ}$=3．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形利用平面向量的線性運(yùn)算與共線定理，列出方程組求出λ與μ的表達(dá)式，即可求出$\frac{2}{λ}$+$\frac{1}{μ}$的值．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{ED}$+$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{EB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$；
又E，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)k，使$\overrightarrow{ED}$=k$\overrightarrow{EF}$=k（$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AE}$）=kμ$\overrightarrow{AC}$-kλ$\overrightarrow{AB}$；
又$\overrightarrow{DC}$=-2$\overrightarrow{DB}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$；
∴（1-λ）$\overrightarrow{AB}$=（kμ$\overrightarrow{AC}$-kλ$\overrightarrow{AB}$）-（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$），
即（1-λ）$\overrightarrow{AB}$=（kμ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AC}$+（$\frac{1}{3}$-kλ）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{kμ-\frac{1}{3}=0}\\{1-λ=\frac{1}{3}-kλ}\end{array}\right.$，
解得μ=$\frac{1}{3k}$，λ=$\frac{2}{3（1-k）}$；
∴$\frac{2}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=3（1-k）+3k=3．
故答案為：3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的加法、減法運(yùn)算，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，是綜合性題目．