【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論f(x) 的單調(diào)性;

(2)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0;

(3)如果f(x)>g(x) 在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

試題分析:本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,最值、解決恒成立問題,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問,對(duì)求導(dǎo),對(duì)a進(jìn)行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第二問,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,判斷最值,證明結(jié)論,第三問,構(gòu)造函數(shù)= ),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,從而證明結(jié)論.

試題解析:(

0,內(nèi)單調(diào)遞減.

=0,有.

當(dāng) 時(shí),0,單調(diào)遞減;

當(dāng) 時(shí),0,單調(diào)遞增.

)令=,則=.

當(dāng)時(shí),0,所以,從而=0.

)由(),當(dāng)時(shí),0.

當(dāng)時(shí),=.

故當(dāng)在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí),必有.

當(dāng)時(shí),1.

由()有,從而,

所以此時(shí)在區(qū)間內(nèi)不恒成立.

當(dāng)時(shí),令= .

當(dāng)時(shí),= .

因此在區(qū)間單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>=0,所以當(dāng)時(shí),= 0,即恒成立.

綜上, .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組,得到的頻率分布表如表所示.

組號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

5

第2組

第3組

30

第4組

20

第5組

10

(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖;

(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試;

(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試,求:第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的定義域是,,當(dāng)時(shí),.

1)求證:是奇函數(shù);

2)求在區(qū)間上的解析式;

3)是否存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),不等式有解?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小李大學(xué)畢業(yè)后選擇自主創(chuàng)業(yè),開發(fā)了一種新型電子產(chǎn)品.2019年9月1日投入市場(chǎng)銷售,在9月份的30天內(nèi),前20天每件售價(jià)(元)與時(shí)間(天,)滿足一次函數(shù)關(guān)系,其中第一天每件售價(jià)為63元,第10天每件售價(jià)為90元;后10天每件售價(jià)均為120元.已知日銷售量(件)與時(shí)間(天)之間的函數(shù)關(guān)系是.

(1)寫出該電子產(chǎn)品9月份每件售價(jià)(元)與時(shí)間(天)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)9月份哪一天的日銷售金額最大?并求出最大日銷售金額.(日銷售金額=每件售價(jià)日銷售量).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若數(shù)列對(duì)任意滿足,下面給出關(guān)于數(shù)列的四個(gè)命題:①可以是等差數(shù)列,②可以是等比數(shù)列;③可以既是等差又是等比數(shù)列;④可以既不是等差又不是等比數(shù)列;則上述命題中,正確的個(gè)數(shù)為(

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種,若普通座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高具體浮動(dòng)情況如下表(其中浮動(dòng)比率是在基準(zhǔn)保費(fèi)上上下浮動(dòng)):

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素

浮動(dòng)比率

上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮

上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮

上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格

類型

數(shù)量

(Ⅰ)求這輛車普通座以下私家車在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)的平均值(精確到

(Ⅱ)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基準(zhǔn)保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損一輛非事故車盈利,且各種投保類型車的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致.試完成下列問題:

①若該銷售商店內(nèi)有六輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,某顧客欲在該店內(nèi)隨機(jī)挑選輛車,求這輛車恰好有一輛為事故車的概率;

②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)輛車車齡已滿三年)該品牌二手車,求一輛車盈利的平均值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國(guó)人民發(fā)出的口號(hào).某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召,大力研發(fā)新產(chǎn)品,為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:

試銷單價(jià)(元)

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量(件)

q

84

83

80

75

68

已知,.

(Ⅰ)求出的值;

(Ⅱ)已知變量,具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量(件)關(guān)于試銷單價(jià)(元)的線性回歸方程;

(Ⅲ)用表示用(Ⅱ)中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí),則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè),求“好數(shù)據(jù)”至少有一個(gè)的概率.

(參考公式:線性回歸方程中,的最小二乘估計(jì)分別為

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果存在函數(shù)為常數(shù)),使得對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意都有成立,那么稱為函數(shù)的一個(gè)線性覆蓋函數(shù).給出如下四個(gè)結(jié)論:

①函數(shù)存在線性覆蓋函數(shù);

②對(duì)于給定的函數(shù),其線性覆蓋函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè);

為函數(shù)的一個(gè)線性覆蓋函數(shù)

④若為函數(shù)的一個(gè)線性覆蓋函數(shù),則

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為,離心率為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線的斜率為,直線與橢圓C交于兩點(diǎn).點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),求的面積的最大值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案