Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，拋物線上一點(diǎn)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，|PF|=3
（1）求拋物線的方程；
（2）過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）先求拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義，將拋物線y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，即可求得結(jié)論．
（2）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的傾斜角求出斜率，寫出過A，B兩點(diǎn)的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，把△OAB的面積表示為兩個(gè)小三角形AOF與BOF的面積和得答案．

解答 解：（1）由拋物線定義可知，|PF|=2+$\frac{p}{2}$=3，∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）由y²=34，得F（1，0）．
∴過A，B的直線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
聯(lián)立得y²-4$\sqrt{3}$y-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4$\sqrt{3}$，y₁y₂=-4．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{48+16}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查拋物線定義的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，涉及直線和圓錐曲線關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線和圓錐曲線，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，是中檔題．