Question

已知函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間［-，］上的偶函數(shù)，且x∈［0，］時，f（x）=-x²-x+5.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）若矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在函數(shù)y=f(x)的圖象上，頂點(diǎn)C，D在x軸上，求矩形ABCD面積的最大值.

Answer 1

（1）f(x)=（2）當(dāng)t=1時，矩形ABCD的面積取得極大值6，且此極大值也是S（t）在t∈（0，］上的最大值，從而當(dāng)t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6.

解析:

（1）當(dāng)x∈［-，0］時，-x∈［0，］.

∴f(-x)=-(-x)²-(-x)+5=-x²+x+5.

又∵f(x)是偶函數(shù)，

∴f（x）=f(-x)=-x²+x+5.

∴f(x)=

（2）由題意，不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為（t,-t²-t+5）,其中t∈（0，］.

由圖象對稱性可知B點(diǎn)坐標(biāo)為（-t，-t²-t+5）.則S(t)=S_矩形ABCD=2t（-t²-t+5）=-2t³-2t²+10t.

=-6t²-4t+10.由=0，得t₁=-（舍去），t₂=1.當(dāng)0＜t＜1時， ＞0;t＞1時, ＜0.

∴S(t)在（0，1］上單調(diào)遞增，在［1，］上單調(diào)遞減.∴當(dāng)t=1時，矩形ABCD的面積取得極大值6，且此極大值也是S（t）在t∈（0，］上的最大值，從而當(dāng)t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6.